MMC E MDC

O mínimo múltiplo comum, ou m.m.c., de dois ou mais números inteiros é o menor múltiplo inteiro positivo comum a todos eles. Por exemplo, o m.m.c. de 6 e 8 é o 24, e denotamos isso por mmc6, 8=24 Já o m.m.c. de 5, 6 e 8 é o 120, o que é denotado por mmc5, 6, 8=120. O m.m.c. é muito útil quando se adicionam ou subtraem frações, pois é necessário um mesmo denominador comum durante esses processos. Não é necessário que esse denominador comum seja o m.m.c., mas a sua escolha minimiza os cálculos. Considere o exemplo: 326+18=656+756=1356, onde o denominador 56 foi usado porque mmc28, 8 = 56. Regra prática para calcular o m.m.c. de dois números. Para calcular o m.m.c. entre 28 e 8, fazemos o seguinte: 1. Reduzimos a fração ,28-8. aos seus menores termos: 288=72. 2. Multiplicamos em cruz a expressão obtida: 28x2=8x7=56 3. O valor obtido é o m.m.c. procurado: mmc28, 8=56. Regra geral para calcular o m.m.c. de dois ou mais números. O procedimento geral para o cálculo do m.m.c. envolve a decomposição primária de cada número. Por exemplo, para calcular o m.m.c. de 8, 12 e 28, fazemos o seguinte: 1. Realizamos a decomposição primária de cada número: 8=23 12=22∙31 28=22∙71 2. Em seguida, multiplicamos cada fator primo elevado à maior potência com que aparece nas fatorações. O resultado é o m.m.c. procurado: mmc8, 12, 28=23∙31∙71=168 Dispositivo prático para calcular o m.m.c. de dois ou mais números. O procedimento acima tem a seguinte forma prática de execução: 1. Alinhamos os três números, 8, 12 e 28, e dividimos todos os números que podem ser divididos pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido: MMC e MDC (Foto: Colégio Qi) 2. Repetimos esse procedimento sucessivamente com o 2, depois com o 3 e, depois com o 7, até que a última linha só contenha algarismos 1: MMC e MDC (Foto: Colégio Qi) 3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o m.m.c. procurado: mmc8, 12, 28=2∙2∙2∙3∙7=168 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DO M.M.C. Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do m.m.c. destes números. Exemplo: os múltiplos comuns positivos de 8, 12 e 28 são exatamente os múltiplos positivos de 168, o seu m.m.c., ou seja, são 168, 336, 504,... Exemplo: encontre o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao mesmo tempo, por 3 ,4 e 15. Solução: pela propriedade fundamental do m.m.c., o número desejado será o menor número de três algarismos múltiplo do m.m.c. de 3, 4 e 15. Como mmc3, 4, 15=60, então o menor múltiplo de três algarismos é o 120. MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) O máximo divisor comum, ou m.d.c., de dois ou mais números inteiros é o maior divisor inteiro comum a todos eles. Por exemplo, o m.d.c. de 16 e 36 é o 4, e denotamos isso por mdc16,36=8. Já o m.d.c. de 30, 54 e 72 é o 6, o que é denotado por mdc30, 54, 72=6. Regra geral para calcular o m.d.c. de dois ou mais números. O procedimento geral para o cálculo do m.d.c., como no caso do m.m.c., envolve a decomposição primária de cada número. Por exemplo, para calcular o m.m.c. de 30, 54 e 72, fazemos o seguinte: 1. Realizamos a decomposição primária de cada número: 30=21∙31∙51 36=22∙32 72=23∙32 2. Em seguida, multiplicamos os fatores primos comuns elevados à menor potência com que cada um aparece nas fatorações. O resultado é o m.d.c. procurado: mmc30, 36, 72=21∙31=6 Dispositivo prático para calcular o m.d.c. de dois ou mais números. O procedimento acima tem a seguinte forma prática de execução: 1. Alinhamos os três números, 30, 36 e 72, e dividimos todos os números que podem ser divididos pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido: MMC e MDC (Foto: Colégio Qi) 2. Repetimos esse procedimento com o próximo primo que divida os três quocientes e, assim, sucessivamente, até que não hajam mais primos comuns: MMC e MDC (Foto: Colégio Qi) 3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o m.d.c. procurado: mdc30, 36, 72=2∙3=6 O ALGORITMO DE EUCLIDES PARA O CÁLCULO DO M.D.C. DE DOIS NÚMEROS. Para o cálculo do m.d.c. de dois números, existe um dispositivo extremamente rápido e econômico. Trata-se do algoritmo de Euclides, que descrevemos, agora, para calcular o m.d.c. de 305 e 360. 1. Dividimos o maior número, 360, pelo menor, 305, obtendo resto 55, posicionando o resto abaixo do divisor:36030555 2. Em seguida, transportamos o resto 55 para o lado direito de 305 e dividimos o 305 por 55, posicionando o novo resto abaixo do 55: Matemática (Foto: Reprodução) 3. Repetimos esse procedimento, transportando o novo resto 30 para o lado direito de 55 e dividimos o 55 por 30, posicionando o novo resto abaixo do 30. E continuamos assim, sucessivamente, até obter o primeiro resto 0: Matemática (Foto: Reprodução) 4. O penúltimo resto obtido, ou seja, o resto anterior ao primeiro resto 0, é o m.d.c. dos dois números iniciais: mdc (305, 360) =resto anterior ao 0=5. Números primos entre si ou primos relativos. Dois números inteiros são ditos primos entre si, ou primos relativos, se o m.d.c. entre eles é 1. É o caso de 10 e 21. Como mdc (10, 21) = 1, então 10 e 21 são primos entre si. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DO M.D.C. Todo divisor comum de dois ou mais números inteiros é divisor do m.d.c. destes números. Exemplo: 3 é divisor comum de 30, 36 e 72. Observe que 3 também é divisor de 6, o m.d.c. destes três números. EXERCÍCIOS 1. (UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s.Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente? (A) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas. (B) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas. (C) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas. (D) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas. (E) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas. Solução O mmc30, 36,40 = 360 s=6min é o menor tempo em que os três se encontrarão novamente no ponto de partida. Por eliminação, já podemos marcar a letra B. Mas como encontrar o número de voltas de casa ciclista, basta dividir o tempo de 360 segundos pelo período de uma volta de cada um deles: 1o ciclista = 36040=9 voltas; 2o ciclista = 36036=10 voltas; 3o ciclista =36030=12 voltas Resposta: letra B. 2. (PUC) “A Dengue é uma doença causada por um vírus, transmitida de uma pessoa doente para uma pessoa sadia por meio de um mosquito: o Aedes aegypti. Ela se manifesta de maneira súbita – com febre alta, dor atrás dos olhos e dores nas costas – e, como não existem vacinas específicas para o seu tratamento, a forma de prevenção é a única arma para combater a doença.” Fonte (adaptado): prdu.unicamp.br/dengue/dengue.html Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 homens inscreveram-se como voluntários para percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de orientar a população sobre os procedimentos a serem usados no combate à Dengue. Para tal, todas as 1.025 pessoas inscritas serão divididas em grupos, segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas e em cada grupo só haverá pessoas de um mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar bairros distintos, o menor número de bairros a serem visitados é: (A) 25 (B) 29 (C) 37 (D) 41 (E) 45 Solução Quanto maior o número de pessoas em cada grupo, menor será o número total de grupos e, portanto, menor será o número de bairros visitados. Então, o número máximo de pessoas por grupo será o m.d.c. entre o número de homens e o número de mulheres, ou seja, mdc 450,575 = 25 pessoas por grupo. O número total de grupos será o número total de bairros visitados. Como temos 45025=18 grupos de mulheres e 57525=23 grupos de homens, teremos um total de 18+23=41 grupos e, portanto, 41 bairros visitados. Resposta: letra D.